引言

众所周知，自然界中普遍存在的介质为双正材料，这种材料的磁导率和介电常数均大于零，即其折射率为正实数，而且电磁波在这种介质中传播时，电场分量和磁场分量满足右手定则，所以也称右手材料。

1968 年，苏联科学家维克托·韦谢拉戈\\( Victor Veselago\\) 首次提出负折射率介质，于是人们开始关注这种不同于双正介质的特殊材料，并纷纷进行相关的实验。负折射介质分为双负材料和单负材料。顾名思义，双负介质的介电常数和磁导率均为负，即介质的折射率为负，而且电磁波在这种介质中传播时，电场分量和磁场分量不再满足右手定则，而是遵从左手定则，故亦称左手材料。单负介质分为磁单负材料和电单负材料，磁单负材料磁导率小于零、介电常数大于零，电单负材料则相反，为介电常数小于零、磁导率大于零。大量的研究或实验表明，电磁波在负折射率介质中传播时，表现出不同于普通材料\\( 双正材料\\) 的特殊物理光学、电磁等特性，也正因为其表现出的这种新奇电磁特性，所以长期成为物理学者们研究的主要热门领域之一。

根据光学、电磁和薄膜介质有关理论，由不同介电常数介质周期性排列形成的组合体，对入射到其中的光具有选择性通过的剪裁功能，即存在能带禁带和导带，处于导带频率的光可以允许通过，而处于禁带频率的光则被禁止通过，这种不同介电常数周期性排列形成的组合体称为光子晶体。1987 年，光子晶体概念由 Yablonovitch 和 John 提出后，人们对双正介质结构的光子晶体进行了大量的研究，且取得了系列成熟的成果和结论，并且呈现出巨大的潜在应用前景，所以近 30 年来，光子晶体一直是光学和材料领域的研究焦点之一。近几年来，负折射材料光子晶体成为光子晶体研究的又一个热潮。基于负折射介质的特殊光学、电磁特性，其构成的光子晶体的光传输特性也肯定异于双正介质光子晶体。因此，本文在构造相同光子晶体结构模型的基础上，分别研究双正、双负和单负材料光子晶体的能带特征，以及各类参数分别对双正、双负和单负材料光子晶体能带的影响规律等，力求找出不同折射率材料光子晶体的能带结构特点，为光子晶体的学习者提供指导，并为研究者提供模型和材料选择参考。

1 研究模型和方法

确定镜像对称结构双正、双负和单负介质一维光子晶体的研究模型为\\( AB\\)n\\( BA\\)n。对于双正、双负介质，A、B 介质层的参数取:折射率 nA= 2. 6，折射率 nB= ± 1. 45\\( 双负介质时取负号\\) ，光学厚度DA= nAdA= 0. 25λ0，DB= nBdB= ± 0. 25λ0\\( 双负介质时取负号\\) ，其中 λ0是指光子晶体禁带中心频率 ω0所对应的波长。对于单负介质，A 和 B 分别表示负磁导率材料和负介电常量材料，采用传输线模型来描述各向同性单负材料，则负磁导率材料 A、B 的介电常量和磁导率分别为: εA= 3，μA= 1，εB= 1 － ω2ep/ ω2，μB= 3，其中 ω 为频率，单位为 GHz，ωep为电等离子体频率，大小为 100 GHz，A、B 层介质的厚度为 dA= 12 mm 和 dB= 6 mm。

利用传输矩阵法理论［6，14 －16］，通过 Matlab 编程，横坐标的频率用归一化单位 ω/ω0，分别计算模拟含双正介质、双负介质和单负介质光子晶体\\( AB\\)n\\( BA\\)n的透射能带谱，以及随入射角和周期数而变化的透射能带谱。

2 对称结构一维光子晶体的能带研究

2. 1 双正、双负和单负介质一维光子晶体的透射谱

对于镜像对称结构的光子晶体\\( AB\\)n\\( BA\\)n，在双正介质、含双负介质和含单负介质情况下，保持以上各参数不变，固定周期数 n =3，考虑光垂直入射于介质表面\\( 即入射角 θ =00\\) ，利用传输矩阵法理论通过 Matlab 编程，计算模拟出光子晶体\\( AB\\)3\\( BA\\)3的透射谱如图 1 所示。

从图 1 中可以看到: 当 B 为双正介质时，光子晶体能带谱中周期性交替出现光子禁带\\( 为光子晶体主禁带\\) ，其宽度为 0. 331ω/ω0，且禁带中心出现一条窄透射带，如图 1\\( a\\) 所示; 当 B 为双负介质时，主禁带宽度为 1. 190ω/ω0，如图 1\\( b\\) 所示; 当 B 为单负介质时，主禁带宽度变为 2. 925ω/ω0，如图 1\\( c\\) 所示。【图1】

通过对比发现双正介质光子晶体的主禁带宽度最窄，单负介质光子晶体主禁带宽度最宽，双负介质光子晶体介于以上两种情况之间; B 为双正和双负介质时，主禁带的中心均出现一条带宽较窄的透射带; B 为双正或者双负介质时，除了光子禁带成对称分布外，主禁带中的透射带也成对称分布，而当 B 为单负介质时，禁带中的透射带对称性已经明显受到破坏，即透射带已经偏离主禁带中心位置。

2. 2 周期数 n 对透射谱的影响

保持其他参数不变，使光子晶体\\( AB\\)n\\( BA\\)n的周期数分别取 n =3、4、5、6，同样使光垂直于介质表面入射，通过 Matlab 软件编程计算模拟得出光子晶体\\( AB\\)n\\( BA\\)n分别为双正、含双负和含单负介质时的透射谱，如图 2 所示。

从图 2 可知，无论 B 是双正、双负还是单负介质，随周期数的增加，它们的禁带宽度都没有明显的变化，这表明光子晶体\\( AB\\)n\\( BA\\)n禁带宽度没有完全依赖于周期数的变化。当周期数从 n =3 ～6 变化时，双正介质光子晶体禁带中心频率处的透射峰带宽从 0. 012ω/ω0减小到 0. 001 32ω/ω0，如图 2\\( a\\) 所示; 对双负介质光子晶体，在其主禁带中心频率处的透射峰带宽从 0. 042ω/ω0减小到 0. 004ω/ω0，如图 2\\( b\\) 所示; 对单负介质，禁带中透射峰带宽也从0. 200 7ω/ω0减小到0. 000 27ω/ω0，如图2\\( c\\) 所示。对比图2\\( a\\) 、\\( b\\) 、\\( c\\) 可知，在相同的条件下，光子晶体禁带中的透射峰带宽均逐渐变小并趋于尖锐，且以单负介质的光子晶体透射峰带宽减小的速度为最快，带宽减小约为原来的 740 倍。不论是双正、双负还是单负光子晶体，禁带中的透射峰位置都没有发生移动，且透射率维持在 100%。因此，可提高单负介质光子晶体的周期数，得到较为精细的透射峰带宽，从而可制造出高品质的滤波器。【图2】


2. 3 B 层介质厚度 dB对透射谱的影响

固定周期数为 n =3，在其他参数不变的情况下，使光垂直于介质表面入射，取光子晶体\\( AB\\)3\\( BA\\)3中B 层介质厚度分别为 1. 05dB、1. 10dB、1. 15dB、1. 20dB。然后通过计算绘制得出介质厚度 dB分别对透射谱的影响如图 3 所示。

从图 3 中可知: 无论是双正、双负还是单负介质，随着介质厚度 dB的增加，它们的禁带宽度都没有明显的变化，透射峰带宽也没有明显的变化，且透射率都维持在 100%不变，但 B 层为单负介质时，禁带边缘变得较为陡峭，这表明光子晶体\\( AB\\)3\\( BA\\)3禁带宽度没有完全依赖于介质厚度 dB的变化。另外，对双正介质和双负介质光子晶体，禁带中心频率处的透射峰分别向低频方向移动了 0. 014ω/ω0和0. 033ω/ω0; 而对单负介质光子晶体，禁带中透射峰向低频方向移动了 0. 137ω/ω0，即相对前两者移动速度最快。这表明介质厚度dB对单负介质光子晶体的调制效果要优于对双正和双负光子晶体的调制效果。【图3】

2. 4 入射角对透射谱的影响

固定周期为 n =3，保持上述的各参数不变，当入射角分别为 10°、20°、30°、40°时，经模拟计算一维光子晶体\\( AB\\)3\\( BA\\)3在双正介质、含双负介质和含单负介质情况下的透射谱，如图 4 所示。【图4】

从图 4 中可知: 随着入射角的增大，无论是双正、双负还是单负介质，它们的禁带宽度都没有明显的变化，这表明光子晶体\\( AB\\)3\\( BA\\)3禁带宽度没有完全依赖于入射角的变化。当入射角从 θ =10° ～40°的变化时，双正、双负和单负介质光子晶体禁带中的透射峰都向高频方向移动，双正介质光子晶体，透射峰中心从1. 0ω / ω0频率处移动到1. 084ω/ω0频率处，共移动了0. 084ω/ω0; 双负光子晶体透射峰中心从3. 0ω/ω0频率处移动到 3. 249ω/ω0频率处，共移动了 0. 249ω/ω0; 单负光子晶体，透射峰中心从 5. 858ω/ω0频率处移动到6. 118ω / ω0频率处，共移动了 0. 260ω/ω0。可见，入射角变化相同时，单负介质光子晶体透射峰向高频方向移动速度较快，即入射角对单负介质光子晶体能带谱的影响要大于对双正和双负介质光子晶体。

3 结论

利用传输矩阵法理论，通过 Matlab 编程，模拟绘制出镜像对称结构双正、双负和单负介质光子晶体\\( AB\\)n\\( BA\\)n的能带结构，经过对比研究，得出如下结论:

\\( 1\\) 由不同介质材料构成的对称结构光子晶体，其能带谱存在很大的差异，其中以单负介质光子晶体禁带宽度最宽，双负介质光子晶体次之，双正介质光子晶体的禁带宽度为最窄。

\\( 2\\) 禁带中都出现缺陷模，双正光子晶体透射峰出现在禁带中心，双负介质光子晶体透射峰出现在整数倍 ω/ω0频率处; 而单负介质光子晶体，透射峰并非出现在禁带中心。

\\( 3\\) 当周期数变大时，光子晶体禁带中的透射峰带宽均逐渐变小并趋于尖锐，且以单负介质的光子晶体透射峰带宽减小的速度为最快。

\\( 4\\) 当介质厚度 dB增大时，对单负介质光子晶体的调制效果要优于对双正和双负光子晶体的调制效果。\\( 5\\) 当入射角增大时，对单负介质光子晶体能带谱的影响要大于对双正和单负介质光子晶体。

不同介质材料构成的对称结构光子晶体的这些光传输特性，可为镜像对称结构光子晶体的设计以及窄带或是宽带光子晶体光学滤波器件等提供理论指导。

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